Pengurangan

Bilangan bulat

Bayangkan sebuah segmen garis dari panjang b dengan ujung kiri berlabel a dan ujung kanan berlabel c. Dimulai dari a, dibutuhkan langkah b ke kanan untuk mencapai c. Pergerakan ke kanan ini dimodelkan secara matematis oleh penambahan:

a + b = c.

Dari c, dibutuhkan b langkah ke kiri untuk kembali ke a. Gerakan ke kiri ini dimodelkan dengan pengurangan:

c − b = a.

Sekarang, segmen garis berlabel 1, 2, dan 3. Dari posisi 3, tidak perlu mengambil langkah ke kiri untuk tetap di 3, jadi 3 − 0 = 3. Dibutuhkan 2 langkah ke kiri untuk sampai ke posisi 1, jadi 3 − 2 = 1. Gambar ini tidak cukup untuk menggambarkan apa yang akan terjadi setelah 3 langkah ke kiri dari posisi 3. Untuk mewakili operasi seperti itu, garis harus diperpanjang.

Untuk mengurangi bilangan asli arbitrer, satu dimulai dengan garis yang berisi setiap bilangan asli (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Dari 3, dibutuhkan 3 langkah ke kiri untuk sampai ke 0, jadi 3 − 3 = 0. Namun, 3 − 4 masih tidak valid, karena meninggalkan barisan. Bilangan asli bukanlah konteks yang berguna untuk pengurangan.

Solusinya adalah dengan mempertimbangkan bilangan bulat garis bilangan (..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...). Dengan cara ini, dibutuhkan 4 langkah ke kiri dari 3 untuk sampai ke 1:

3 − 4 = −1.

Bilangan asli

Pengurangan bilangan asli bukan tertutup: selisihnya bukan bilangan asli kecuali jika minuend lebih besar dari atau sama dengan pengurangan. Misalnya, 26 tidak dapat dikurangkan dari 11 untuk menghasilkan bilangan asli. Kasus seperti itu menggunakan salah satu dari dua pendekatan:

1. Simpulkan bahwa 26 tidak dapat dikurangkan dari 11; pengurangan menjadi fungsi parsial.
2. Berikan jawabannya sebagai bilangan bulat yang mewakili bilangan negatif, sehingga hasil pengurangan 26 dari 11 adalah −15.

Bilangan riil

Medan bilangan riil didefinisikan dengan menentukan hanya dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian, bersama-sama dengan operasi uner menghasilkan invers penjumlahan dan perkalian. Pengurangan bilangan riil (pengurang) dari yang lain (minuend) didefinisikan sebagai penambahan minuend dan invers aditif dari pengurangan. Misalnya, 3 − π = 3 + (−π). Sebagai alternatif, alih-alih memerlukan operasi uner ini, operasi biner dari pengurangan dan pembagian dapat diambil sebagai dasar.

Antikomutatif

Pengurangan adalah anti-komutatif, artinya jika kita membalik suku-suku dalam selisih kiri-ke-kanan, hasilnya adalah negatif dari hasil semula. Secara simbolis, jika a dan b adalah dua bilangan, maka

a − b = −(b − a).

Non-asosiasi

Pengurangan adalah non-asosiatif, yang muncul seketika mencoba mendefinisikan pengurangan berulang. Secara umum, ekspresi

"a − b − c"

apabila didefinisikan berarti (a − b) − c atau a − (b − c), tetapi dua kemungkinan ini menyebabkan jawaban yang berbeda. Untuk mengatasi masalah ini, apabila membuat urutan operasi, dengan perintah yang berbeda menghasilkan hasil yang berbeda.

Pendahulu

Dalam konteks bilangan bulat, pengurangan satu juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat a, bilangan bulat (a − 1) adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari a, juga dikenal sebagai pendahulu a.

Persentase

Perubahan persentase apabila dilaporkan dalam setidaknya dua bentuk, perubahan persentase dan perubahan titik persentase. Perubahan persentase mewakili perubahan relatif antara dua kuantitas sebagai persentase, sementara perubahan titik persentase hanyalah angka yang diperoleh dengan mengurangkan dua persentase.^[7][8][9]

Sebagai contoh, anggaplah 30% widget yang dibuat di pabrik rusak. Enam bulan kemudian, 20% widget rusak. Perubahan persentase adalah 20% − 30%30% = −13 = −33 13%, sedangkan perubahan poin persentase adalah 10 titik persentase.

Di Amerika

Hampir semua sekolah Amerika saat ini mengajarkan metode pengurangan menggunakan peminjaman atau pengelompokan ulang (algoritma dekomposisi) dan sistem penandaan yang disebut kruk.^[10][11] Meskipun metode peminjaman telah dikenal dan diterbitkan dalam buku teks sebelumnya, penggunaan kruk di sekolah-sekolah Amerika menyebar setelah William A. Brownell menerbitkan sebuah penelitian—mengklaim bahwa kruk bermanfaat bagi siswa yang menggunakan metode ini.^[12] Sistem ini berkembang pesat, menggantikan metode pengurangan lain yang digunakan di Amerika pada waktu itu.

Di Eropa

Beberapa sekolah Eropa menggunakan metode pengurangan yang disebut metode Austria, juga dikenal sebagai metode penambahan. Tidak ada pinjaman dalam metode ini. Ada juga kruk (tanda untuk membantu ingatan), yang berbeda-beda di setiap negara.^[13][14]

Membandingkan dua metode utama

Kedua metode ini memecah pengurangan sebagai proses pengurangan satu digit berdasarkan nilai tempat. Dimulai dengan angka yang paling tidak signifikan, pengurangan dari pengurangan:

s_j s_j−1 ... s₁

dari minuend

m_k m_k−1 ... m₁,

di mana s_i dan m_i adalah angka, lanjutkan dengan menuliskan m₁ − s₁, m₂ − s₂, dan seterusnya, selama s_i tidak melebihi m_i. Jika tidak, m_i bertambah 10 dan beberapa digit lainnya dimodifikasi untuk mengoreksi kenaikan ini. Metode Amerika mengoreksi dengan mencoba mengurangi digit minuend m_i+1 per satu (atau melanjutkan peminjaman ke kiri sampai ada angka bukan nol untuk meminjam). Metode Eropa mengoreksi dengan menambah satu digit subtrahend s_i+1.

Contoh: 704 − 512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {penerus}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Pengurangan}}\\\longleftarrow {\rm {Hasil\;atau\;Beda}}\\\end{array}}}$

Minuend adalah 704, pengurangan adalah 512. Digit minuend adalah m₃ = 7, m₂ = 0 dan m₁ = 4. Digit pengurangan adalah s₃ = 5, s₂ = 1 dan s₁ = 2. Mulai dari tempat satu, 4 tidak kurang dari 2 jadi selisih 2 ditulis di tempat hasil. Di tempat sepuluh, 0 kurang dari 1, jadi 0 bertambah 10, dan selisihnya dengan 1, yaitu 9, ditulis di tempat sepuluh. Metode Amerika mengoreksi kenaikan sepuluh dengan mengurangi angka di tempat ratusan minuend satu per satu. Artinya, 7 dipukul dan diganti dengan 6. Pengurangan kemudian dilanjutkan di tempat ratusan, di mana 6 tidak kurang dari 5, jadi selisihnya ditulis di tempat hasil ratusan. Kita sekarang selesai, hasilnya adalah 192.

Metode Austria tidak mengurangi 7 menjadi 6. Melainkan menambah satu digit pengurangan seratus. Sebuah tanda kecil dibuat di dekat atau di bawah angka ini (tergantung pada sekolah). Kemudian pengurangan dilanjutkan dengan menanyakan bilangan berapa bila ditambah 1, dan 5 dijumlahkan menjadi 7. Jawabannya adalah 1, dan hasilnya ditulis di tempat ratusan.

Ada kehalusan tambahan bahwa siswa selalu menggunakan tabel pengurangan mental dalam metode Amerika. Metode Austria sering mendorong siswa untuk secara mental menggunakan tabel penjumlahan secara terbalik. Dalam contoh di atas, daripada menjumlahkan 1 hingga 5, mendapatkan 6, dan mengurangkannya dari 7, siswa diminta untuk mempertimbangkan bilangan apa, ketika ditambah 1, dan 5 ditambahkan, menjadi 7.

Metode Austria

Contoh:

• 
  1 + ... = 3
• 
  Perbedaannya ditulis di bawah garis.
• 
  9 + ... = 5
  Jumlah yang diperlukan (5) terlalu kecil.
• 
  Jadi, kita menambahkan 10 dan menempatkan 1 di bawah tempat yang lebih tinggi berikutnya di pengurangan.
• 
  9 + ... = 15
  Sekarang kita dapat menemukan perbedaan seperti sebelumnya.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  Perbedaannya ditulis di bawah garis.
• 
  Perbedaan/Hasil total.

Pengurangan dari kiri ke kanan

Contoh:

• 
  7 − 4 = 3
  Hasil ini hanya dengan pensil.
• 
  Karena digit berikutnya dari minuend lebih kecil dari subtrahend, kita kurangi satu dari nomor pensil kita dan secara mental tambahkan sepuluh ke yang berikutnya.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Karena digit berikutnya di minuend tidak lebih kecil dari subtrahend, Kami menyimpan nomor ini.
• 
  3 − 1 = 2

Metode Amerika

Dalam metode ini, setiap digit pengurangan dikurangi dari digit di atasnya mulai dari kanan ke kiri. Jika angka atas terlalu kecil untuk mengurangi angka bawah dari itu, kami menambahkan 10 untuk itu; 10 ini "dipinjam" dari digit atas ke kiri, yang kita kurangi 1 darinya. Kemudian kita beralih ke pengurangan digit berikutnya dan meminjam sesuai kebutuhan, sampai setiap digit telah dikurangi. Contoh:

• 
  3 − 1 = ...
• 
  Kita menulis perbedaan di bawah garis.
• 
  5 − 9 = ...
  Minuend (5) terlalu kecil!
• 
  Jadi, kita menambahkan 10 untuk itu. Angka 10 "dipinjam" dari angka di sebelah kiri, yang turun 1.
• 
  15 − 9 = ...
  Sekarang pengurangan bekerja, dan kita menulis perbedaan di bawah garis.
• 
  6 − 4 = ...
• 
  Kita menulis perbedaan di bawah garis.
• 
  Perbedaan/Hasil total.

Hasil tukar

Varian dari metode di mana semua peminjaman dilakukan sebelum semua pengurangan.^[15]

Contoh:

• 
  1 − 3 = tidak mungkin.
  Kita menambahkan 10 ke 1. Karena 10 "dipinjam" dari 5 terdekat, 5 dikurangi 1.
• 
  4 – 9 = tidak mungkin.
  Jadi kita lanjutkan seperti pada langkah 1.
• 
  Dimulai dari kanan ke kiri:
  11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

Selisih parsial

Metode perbedaan parsial berbeda dari metode pengurangan vertikal lainnya karena tidak ada peminjaman atau pengangkutan yang terjadi. Di tempat ini, satu tempat tanda plus atau minus tergantung pada apakah minuend lebih besar atau lebih kecil dari subtrahend. Jumlah dari perbedaan parsial adalah perbedaan total.^[16]

Contoh:

• 
  Angka yang lebih kecil dikurangi dari yang lebih besar:
  700 − 400 = 300
  Karena minuend lebih besar dari subtrahend, perbedaan ini memiliki tanda plus.
• 
  Angka yang lebih kecil dikurangi dari yang lebih besar:
  90 − 50 = 40
  Karena minuend lebih kecil dari subtrahend, perbedaan ini memiliki tanda minus.
• 
  Angka yang lebih kecil dikurangi dari yang lebih besar:
  3 − 1 = 2
  Karena minuend lebih besar dari subtrahend, perbedaan ini memiliki tanda plus.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262

Metode non-vertikal